人教版八年级上数学全册知识点复习及练习

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第十一章 三角形

1.三角形：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．

三角形具有稳定性．

1. 三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．

3.三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所成的角叫三角形的外角．

1. 三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和

交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它

一定在三角形内部．

1. 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一

定在三角形内部．

1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角

形的高线．

注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫三角形的垂心．

锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；

钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部；

直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．

1. 三角形三条边的关系

①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．

②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即、、三条线

段可组成三角形两条较小的线段之

和大于最大的线段．

注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另

两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组

成三角形．

8.三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．

1. 三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补

角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶

点处的两个外角是相等的．

10.三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非个外角

之和)．三角形的外角和等于．

三角形内角和定理的三个推论：

推论1： 直角三角形的两个锐角互余．

推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

11.多边形及其内角和

基本概念

⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．

⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．

⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边

形的对角线．

⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．

⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．

⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．

⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧

的多边形．

基本性质

⑴ 内角和与外角和定理．

如下图，边形的内角和为，多边形的外角和都是．

⑵ 边形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．

⑶不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于．

1. 如图所示，以AB为一边的三角形有（ ）

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

1. 已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是 ．
2. 下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（　 ）

A．1，1，2　　　　B．3，7，11 C．6，8，9　　 　D．3，3，6

1. 设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（ 　）
2. －6<a<－3 B．－5<a<－2 C．－2<a<5 D．a<－5或a>2
3. 如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD的周长之差．

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形各边的长．

1. 若△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C=3∠A，则这个三角形（　 ）

A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°

C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形

1. 三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ）
2. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
3. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
4. 若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（　 ）

A．3：2：1 B．5：4：3 C．3：4：5　 D．1：2：3

1. 如果三角形的三个外角的比为3∶4∶5，那么这个三角形是什么形状的三角形？试说明理由.
2. 已知：如图13，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边的高，则∠DBC=（　 ）

A．10° B．18° C．20° D．30°

图13

1. 如图13，∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，则∠BOC= ．

图13 图14 图15

1. 如图14，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF= ．
2. 如图15，D是△ABC的BC边上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则

∠DAC= ．

1. 一个多边形对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数是__________。
2. 一个多边形的外角和是内角和的， 多边形的边数是____________．
3. 在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数。

第十二章 全等三角形

一、全等的概念

全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．

全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫对应边，相互重合的角叫对应角．

全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形≌五边形．

这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

1. 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互

重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应

角．全等符号为“≌”．

【注意】写两个三角形全等时，对应顶点一定要写在对应的位置．

1. 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的

高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

(3)有公共边的，公共边常是对应边．

(4)有公共角的，公共角常是对应角．

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对

最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找

出对应的元素是关键．

四、判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理

边边边

边角边

角边角

角角边

（仅用在中）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

五、角平分线

性质：角平分线上的点到角的两边距离相等

判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上

1. 如图，已知，点和点是对应点， 点和点是对应点，那么在图中， 和相等线段是_________．

1. 如图，将绕点逆时针旋转得到， 旋转后，在一条直线上，点落在上，若，那么=______．

1. 如图，将沿方向平移得到，是线段和的交点．如果，

．求四边形的面积．

1. 已知：如图,．判断与的关系，并证明你的结论．

5. 已知：如图和相交于点,,.

求证:

6. 已知：如图和都是等边三角形，且在一条直线上.

求证：

7. 如图，，，给出下列结论：

① ② ③ ④其中正确的结论是__________________

8. 如图，在中，，，过点的任一直线，于， 于，求证：

9. 如图，是的高，为上一点，交于，具有，，

试探究与的位置关系.

10. 如图，在中，，，直线经过点，且于，于，求证：.

1. 如图，已知，，，相交于点，

求证：（1）；（2）.

12. 如图：所示．相交于点，且，，．求证：．

13. 已知：如图，在正方形中，分别是上的点，且．求证：

14. 已知：中，是的角平分线，分别是上的点，且 求证：

15. 在中，，是的平分线．是上任意一点．

求证：．

第十三章 轴对称

一、轴对称及其性质：

把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰是轴对称图形．

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

如下图，与关于直线对称，叫做对称轴．和，和，和是对称点．

轴对称的两个图形有如下性质：

①关于某条直线对称的两个图形是全等形；

②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，若他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

二、线段垂直平分线：

垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等，垂直平分线出等腰三角形；

到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

三、等腰三角形的性质：

（1）等边对等角，等角对等边

（2）等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线、中线、顶角的角平分线互相重合（三

线合一）

等腰三角形的顶点一定在底边的垂直平分线上．

四、等腰三角形的判定：

（1）从边入手，证明两边相等

（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等

五、构造等腰三角形常用的方法：

(1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形；

（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形；

（3）“垂直平分线”构造等腰三角形；

（4）“三角形中2倍关系”构造等腰三角形．

六、等边三角形的性质

（1）等边三角形是一个特殊的等腰三角形．

等边三角形三边都相等，每个内角都等于．

（2）每条边上的中线、高线、所对角的角平分线互相重合（三线合一）

（3）等边三角形也是轴对称图形，它有三条对称轴，三线合一所在的直线即为等边

三角形的对称轴，对称轴的交点是等边三角形的中心点．

（4）在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．

（5）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高．

七、等边三角形的判定

（1）从边入手，证明三边相等；

（2）从角入手，证明三角相等或证明两个角都为；

（3）从边角入手，有一个角为的等腰三角形是等边三角形．

常见图形：

1. 如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ）．

1. 将一矩形纸片按如图方式折叠，为折痕，折叠后与在同一条直线上，则的度数（ ）．

．大于 ．小于 ．等于 ．不能确定

1. 如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米， 的周长是厘米，则的长为 厘米．

1. 若已知，，平分交于，若已知，

则＝ ．

1. 如图，已知长方形纸片，点是的中点，点是上一点，先沿着

直线将纸片折叠，使点落在纸片中的点处，连接，则与相等的角的个数为（ ）．

． ． ． ．

1. 如图，在中，，于，且则 ．
2. 如图，已知平分于，则下列结论：

①；②；③；④．

其中正确的的是 ．

1. 两个全等的含角的三角板，如图所示三点在一条直线上，连接，取的中点，连接是判断的形状，并说明理由．

1. 如图，在等腰三角形中，为的中点，垂足为，过点作交的延长线于点，连接交于．

（1）求证：；

（2）连接试判断的形状，并说明理由．

1. 如图，为等腰三角形的底边上的任意一点，于点，于点，点，求证：．

【例11】如图，已知中，垂直平分交于，垂足为， 若 ，则_______．

【例12】已知，如图，是等边三角形，是边上的点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．求证：

【例13】如图，在等边中，，求证：．

【例14】如图，已知为等边三角形，，是否也是等边三角形，若是请证明；若不是请说明理由．

【例14】已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．

求证：（1）；（2）；（3）平分．

第十四章 整式的乘法与因式分解

一、幂的运算：

同底数幂的乘法：（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）

同底数幂的除法：（同底数幂相除，底数不变，指数相减）

幂的乘方： （幂的乘方，底数不变，指数相乘）

积的乘方：（积的乘方，把积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）

【注意】幂的运算都可以进行互逆运算：

即：

1. 整式的乘法

单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有

的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式

为：，其中为单项式，为多项式.

多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单

项式相乘，然后把积相加，公式为：

1. 乘法公式

平方差公式:

完全平方公式:；

1. 整式的除法

单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有

的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加.公式为：

，其中为单项式，为多项式.

1. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也

可称为将这个多项式分解因式.

因式分解与整式乘法互为逆变形：

式中可代表单项式，也可代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式.

六、提公因式法

我们看多项式，它的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式各项的公因式.由，可得.

这样就把分解成两个因式乘积的形式，期中一个因式是各项的公因式，另一个因式是除以所得的商.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

七、公式法

平方差公式：

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.

完全平方公式：

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.

1. 填空．

（1） （2）

1. （4）
2. 若，则 ．
3. 已知：、、是有理数，满足，求值.
4. 已知有理数，，满足，求的值．
5. 已知、互为相反数,、互为倒数，的绝对值等于,

求:的值.

1. 已知、互为倒数，、互为相反数，的绝对值为，则=__________.

【例7】已知，求的值

【例8】计算：⑴； ⑵

【例9】 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（　　）

A. B.

C. D.

【例10】分解因式：

1. ； ⑵

（3） ⑷

【例11】已知：，求的值.

【例12】若（x+y）²﹣6（x+y）+9=0，则x+y=　　．

【例13】分解因式：⑴；⑵

【例14】已知2⁴⁸﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是　　、　　．

【例15】若、、为的三边长，且，则按边分类，应是什么三角形？

第十五章 分式

一、分式的定义

形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分

子,B叫做分式的分母.

二、分式有意义

分母不为0（）

三、分式的值为零

分式值为0：分子为0且分母不为0（）

四、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

用式子表示是： （ 其中M是不等于零的整式）。

五、分式的约分

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

(2)分式约分的依据：分式的基本性质．

(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

六、分式的通分

最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的

积，叫做最简公分母。

找最简公分母的步骤：

（1）取各分式的分母中系数最小公倍数；

（2）各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

（3）相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

（4）所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）

即为最简公分母。

七、分式的运算

分式的乘除

分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

分式乘除法的混合运算

分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分

解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要化成最简的.

分式的乘方

把分子、分母分别乘方。式子：

分式的加减

分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为 ：

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为：

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

【例1】当= 时，分式的值为零？

【例2】当= 时，分式的值为零.

【例3】约分：

【例4】计算：

（1） ， （2）

【例5】计算：

【例6】计算：

【例7】计算，并求出当-1的值.

【例8】计算（1）

【例9】计算

(1) （2） （3）

（4） 5)

(6)

【例10】已知：，求代数式的值．

【例11】先化简，再求值：其中.

【例12】先化简，再求值：，其中

【例13】计算：

【例14】计算

【例15】若分式的值为0,则的值为