【八年级上】 全等三角形辅助线专题1—截长补短
- 双角平分线模型
分析：
本题是典型的线段和差问题，有角平分线，则对应角已经相等，且角平分线可以作为公共边，自然想到截长法．
分析：
本题还可以用补短法，且辅助线作法不唯一，如延长BE，CD交于点G．但在此选择更符合实际情况的“补短”法．
特别提醒：
在用补短法证明∠4＝∠G时，有学生会借助AB∥CD，得内错角相等，但在这是行不通的，因为此时还未证明B、E、G三点共线．需要通过∠1＋∠3＝90°，由∠CEG＝∠CEB＝90°得到．
分析：
本题依然是一个线段和差问题，我们可以尝试截长法，补短法，在此分别展示．
小结：
以上两题，我们都用截长补短法进行了证明．但是在补短法时，第二次旋转型的全等或不太直观，或在证明相等元素时容易出错．
因此，当题目出现双角平分线模型时，一般多用截长法，两次构造翻折型全等．
二．半角模型
认识模型：
首先，让我们对半角模型有一个初步的认识．
半角模型是指符合
有公共顶点，
锐角等于较大角的一半，
且组成较大角的两边相等，
等基本条件的模型．
常通过旋转或翻折，将角的倍数关系转化为角的相等关系，构造全等(相似)三角形来解决．
分析：
本题是最经典的半角模型．若连接BD，其引申的结论由许多，今后会作进一步研究．这里选取的是其中的第一个结论，还是线段和差问题．
我们先尝试截长法，如在EF上截取EG＝EB，连接AG，但此时缺乏角平分线，无法证明角等的条件，无法完成．只能选择补短法，但能说延长EB，使EG与EF相等吗？还是不能！因为还是缺乏角平分线．只能使BG＝DF．
我们再来看一个例1的变式，还是半角模型，依旧可以使用补短法来解决．
小结：
以上两题均为半角模型．我们采用了补短法，当然从更高的观点上，由于这里有“等线段，共端点”，今后也可以利用旋转构造“手拉手模型”来完成．
目前来看，当题目中出现半角模型，一般多用补短法，先构造旋转型全等，再构造翻折型全等．
【八年级上】 全等三角形辅助线专题2—倍长中线
一．求边的数量关系
分析：
本题中，要求三角形一边的范围，不难想到在三角形三边关系中是有所涉及的。但这里的AC与AB，AD不在同一三角形中，无法直接来求，必须进行适当转换．由于题目中明确给出中线，则倍长中线，构造全等，将AC转化至某一条线段，与AB、AD组成三角形．
分析：
本题中，要直接发现BE，EF，CF 间的大小关系，是很困难的，三条线段不在同一个三角形中．受上一题启发，可能有同学会想到倍长中线AD．但是，这样只能将AC转化至某一条线段，与CF没有关系，因此看到中点D，我们也要想到倍长“隐藏的”中线FD．再联系到DE，DF为角平分线，“邻补角的角平分线互相垂直”，∠EDF为90°，想到转化EF，以达到将三条线段转化至同一个三角形的目的．
小结：
以上两题，均是探究边之间的数量关系，借助倍长中线，构造旋转180°的SAS型全等，将不是同一三角形的边转化，使之能构成三角形，从而求解．
这对学生的思维能力要求还是比较高的．不光看到中线，有时，看到中点也要想到这种辅助线作法．
二．证明边等
分析：
本题是经典老题，解法多样．显然图中△BDF和△ECF不全等，不能直接得到BD＝CE．那就需要对其中一条边进行转化．考虑到F为DE中点，加之有对顶角的存在，已经有一对边，一对角等，要构造全等很容易，可以再添一对角等，或者一对边等，这里提供2种方法．
分析：
要证边等，第一步分析能否直接通过证明全等得到，显然不能．想到AD为△ABC中线，则应该倍长中线，尝试将AC转化到与BF在同一三角形中．
分析：
本题其实是在上一题的基础上，去掉了边BF，即擦除了“中线”，只留了中点E，再多加了一条AD，所以方法应该不变．
小结：
例2和例3及变式，都是证明边等。但都不能直接通过全等得到，需要用倍长中线进行转化。而在证明过程中，其实都借助了双等腰三角形的八字形，有一组对顶角作为中间桥梁。通过四个角等，最后得边等。
由此可见，今后遇到类似题目即出现中点，且要证明不在同一三角形中的边等，又不能通过证明全等时，我们既要倍长中线，也要顺便构造含双等腰三角形的八字形，解题时可以事半功倍！
【八年级上】 全等三角形辅助线专题3—见角平分线作垂直
- 角平分线与面积相关
对于一些题目中含角平分线，且向三角形的边作垂线段的题目，基本都会与三角形面积相关，这时候，再多作几次垂直，许多问题就迎刃而解．
分析：
AD作为角平分线，将△ABC分割成了2个三角形．而过点D作了DE⊥AB，自然想到DE看作AB边上的高，才能表示△ADB的面积．那么，要求△ACD的面积，必然想到过点D再作AC的垂线．
分析：
与上题类似，三条交于一点的角平分线将△ABC分成了三个小三角形，继续从面积入手会比较简单．这里应该作两次垂直．
小结：
对于给出线段具体长度的题目，我们经常要考虑是否跟周长面积有关．而一旦有角平分线，又作了垂直，那多半与面积相关，因此，再作垂直就水到渠成了，下一次再遇到类似的题目，你会了吗？
- 角平分线与多次全等
有时候，一些证明线段相等，角等之类的题目，证一次全等显然是不够的．而对于其中含角平分线的问题，我们作垂直，目的是为了创造边等，角等的结论，为下一次证明全等做铺垫．
分析：
显然，直接证明△ABD和△ACD全等是不行的，因为会出现边边角的情况．尝试采用倍长中线也可以．除此，还剩下最后一条路，作垂直．
分析：
这道题也是全等证明中的一道经典难题．对于AB＋AD＝2AE，如何运用是关键．我们把AB看作两条线段之和，即AE＋EB＋AD＝2AE，则证明EB＋AD＝AE，此时，先想到延长AD，而CE⊥AB，那自然想到再次过点C作AD的垂线段．
反思：
如果将本题的条件AB＋AD＝2AE与结论∠ADC＋∠B＝180°，你还会证明吗？
分析：
本题的模型在初一下学期中已经见过，∠BPC与∠BAC的数量关系相信同学们也不陌生，但本题与这个结论无关．要证AP平分∠PAC，显然没有现成的全等可证，那么想到BP，CP是角平分线，我们可以过点P分别向两个角的两边作垂线段，这样一共需作3条，如果3条长度相等，则问题解决．
小结：
见角平分线作垂直是一种基本的辅助线作法，尤其是当题目中不止一条时，选择这种辅助线作法的几率更大，因为在下一章，我们将学习到“角平分线上一点到角的两边距离相等”，其实就是利用此法构造全等得到的．所以，我们也必须掌握这种方法． 下图，再送给大家八上几何常用辅助线添加的口诀！
