第二章 有理数及其运算
- 有理数
- 分类
整数和分数统称为有理数。
注意：因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．
- 正负数：表示相反意义的量
（1）具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能称为具有相反意义的量.
（2）具有相反意义的量的正负性是成对的，且是可以互换的.
（3）与一个量成相反意义的量不止一个，也即是具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量相等.
- 相反数
①只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0
②在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等.
③互为相反数的两个数的和是0。即a+(-a)=0
相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数.
- 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
①数轴三要素：原点、正方向、单位长度（画数轴时，三要素缺一不可）
②任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。（反过来说不对）
③在同一数轴上，右边的数总比左边的数大（ 正数大于0，负数小于0，正数大于负数）
5.倒数
①乘积为1的两个有理数互为倒数（乘积为-1的两个有理数互为负倒数）
②如果a与b互为倒数，则有ab=1,反之亦成立
③倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数
6.绝对值
如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0.
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等.
①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，记作.（|a|≥0）。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0.
②任何数的绝对值总是非负数，即
③正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
④绝对值的有关性质：
①对任意有理数a，都有|a|≥0；
②若|a|=0，则a=0；
③若|a|=|b|，则a=b或a=－b；
④若|a|=b（b>0），则a=±b；
⑤若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；
⑥对任意有理数a，都有|a|=|－a|.
- 有理数比较大小
①正数>0>负数
②正数和正数比较大小，绝对值大的就大
③负数和负数比较大小，绝对值大的反而小
- 有理数的运算
五种运算：加、减、乘、除、乘方
- 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
- 运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
③乘法交换律：ab=ba
④乘法结合律：(ab)c=a(bc)
⑤乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+bc
- 有理数的加法法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
③一个数同0相加，仍得这个数
- 有理数的减法法则
①减去一个数，等于加上这个数的相反数
- 有理数的乘法法则
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
②任何数与0相乘，积仍为0
③几个不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正；当负因数的个数是奇数时，积为负。
- 有理数的除法法则
①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
②0除以任何非0数都得0,0不可作为除数，否则无意义
③除以一个数，等于乘以这个数的倒数
- 有理数的乘方
①求n个相同因数a的积的运算叫做乘方.
a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 ，则 a=0,b=0；
（底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位）
注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何数的偶数次幂都是非负数；
④（除0以外任何数的0次方都得1） 1的任何次幂都得1，0的任何次幂（除0次）都得0；
⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值
8.科学记数法
①一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。